Pokud by existovali 2 neutrální prvky $e$ , $e\prime$ , pak $e=e\circ e\prime =e\prime$

Pokud by $b$ , $b\prime$ byly oba inverze $a$ , pak:

$$b=b\circ e=b\circ \underset{a\circ b\prime =e}{\underbrace{a\circ b\prime }}=\underset{b\circ a=e}{\underbrace{b\circ a}}\circ b\prime =e\circ b\prime =b\prime$$

($b=a^{-1}=b\prime$ je špatně protože nevíme jestli $a^{-1}$ je jednoznačně určené)

$a=b\Rightarrow a\circ c=b\circ c$ ($a$ můžu zaměnit za $b$ protože se rovnají)

$a\circ c=b\circ c\Rightarrow a=b$ : $a=a\circ e=a\circ c\circ c^{-1}=b\circ c\circ c^{-1}=b\circ e=b$

$x=e\circ x=a^{-1}\circ a\circ x=a^{-1}\circ b$

${\left(a^{-1}\right)}^{-1}\circ e={\left(a^{-1}\right)}^{-1}\circ a^{-1}\circ a=e\circ a=a$ (takové schody dolů)

pokud $b^{-1}\circ a^{-1}={\left(a\circ b\right)}^{-1}$ pak $\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)\circ \left(a\circ b\right)=e$ což platí: $\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)\circ \left(a\circ b\right)=b^{-1}\circ e\circ b=b^{-1}\circ b=e$ .

$$a\ne b$$

$$e\circ a\ne b\circ e$$

$$b\circ b^{-1}\circ a\ne b\circ a^{-1}\circ a$$

$$b^{-1}\circ \left(b\circ b^{-1}\circ a\right)\circ a^{-1}\ne b^{-1}\circ \left(b\circ a^{-1}\circ a\right)\circ a^{-1}$$

$$e\circ b^{-1}\circ e\ne e\circ a^{-1}\circ e$$

$$b^{-1}\ne a^{-1}$$

Skládání je asociativní: $\left(\left(r\circ p\right)\circ q\right)\left(i\right)=r\left(p\left(q\left(i\right)\right)\right)=\left(r\circ \left(p\circ q\right)\right)\left(i\right)$

Neutrální prvek $e$ je identita: $\forall i:e\left(i\right)=i$

Inverzní prvek: $p\left(i\right)=j\iff p^{-1}\left(j\right)=i$

Každou permutaci lze rozložit na transpozice. Búno cyklus (zápis cyklem): $\left(1,2,\dots ,k\right)$ $=$ $\left(1,k\right)\circ \left(1,2,\dots ,k-1\right)$ $=$ $\left(1,k\right)\circ \left(1,k-1\right)\circ \dots \circ \left(1,2\right)$

Podobný jako slepování ekvivalentních úprav u matic :eyes:

Identita má znaménko $1$ . Transpozice přidá $1$ cyklus takže $1$ inverzi která může křížit jiné šipky ale počet těchto křížení je vždy sudý.

takže

$\text{\#inverzí}\left(p\circ q\right)=\text{\#inverzí}\left(p\right)+\text{\#inverzí}\left(q\right)$ $-2\left|\left\{\left(i,j\right):\text{mají inverzi v}p\text{i}q\right\}\right|$

kde ta množina je formálně zapsaná jako:

$\left\{\left(i,j\right):\left(i<j\right)\wedge \left(p\left(i\right)>p\left(j\right)\right)\wedge \left(q\left(i\right)>q\left(j\right)\right)\right\}$

$\text{sgn}\left(p\right)·\text{sgn}\left(p^{-1}\right)=\text{sgn}\left(p\circ p^{-1}\right)=\text{sgn}\left(id\right)=1$

duh

$\prod$ přes rozklad na transpozice.

Liché cykly se rozloží na sudý počet transpozic které přispějí $1$

Sudé cykly se rozloží na lichý počet transpozic které přispějí $-1$

Operace z grupy $\left(T\backslash 0,*\right)$ nedefinuje chování pro násobení nulou. Můžeme si ale všimnout že:

$0a=0a+0=0a+\left(0a-0a\right)=0a+0a-0a$ $=\left(0+0\right)a-0a$ $=0a-0a=0$

$\left(-1\right)a=\left(-1\right)a+0=\left(-1\right)a+a+\left(-a\right)$ $=\left(-1\right)a+\left(1\right)a+\left(-a\right)$ $=\left(-1+1\right)a+\left(-a\right)$ $=0a+\left(-a\right)=-a$

Sporem: kdyby $a\ne 0\wedge b\ne 0\wedge ab=0$ tak $EE{a}^{-1},b^{-1}$ $1=a{a}^{-1}b{b}^{-1}=\left(ab\right)\left(a^{-1}{b}^{-1}\right)=0\left(a^{-1}{b}^{-1}\right)=0$ ↯

$\Rightarrow$ : Kdyby $p$ mělo rozklad $p=ab$ , pak $ab=0\text{(mod}p\text{)}$ kde $a\ne 0\wedge b\ne 0$ což je spor s předchozím pozorováním.

$\Leftarrow$ : Většina plyne z vlastností $+$ a $*$ na $\mathbb{Z}$ . Netriviální je existence inverzního prvku pro násobení $a^{-1}$ :

$\forall a\in \left\{1,\dots ,p-1\right\}:\exists a^{-1}\in \left\{1,\dots ,p-1\right\}:a{a}^{-1}\equiv 1\text{(mod}p\text{)}$

Budiž násobící funkce $f_a:\left\{1,\dots ,p-1\right\}\to \left\{1,\dots ,p-1\right\}$ t.ž. $f_a\left(x\right)\equiv ax\text{mod}p$

$f_a$ zobrazuje konečnou množinu samu na sebe
∴ $f_a$ je prostá $\iff$ $f_a$ je na.

Pro spor $f_a$ není prostá, pak $\exists b,c$ búno $b<c$ t.ž. $f_a\left(b\right)=f_a\left(c\right)\Rightarrow 0=f_a\left(b\right)-f_a\left(c\right)\equiv ab-ac=a\left(b-c\right)\text{(mod}p\text{)}$

$0=a\left(b-c\right)\text{(mod}p\text{)}$ ale $a,b,c\in \left\{1,\dots ,p-1\right\}$ takže $b-c=0$ takže $b=c$ ↯

Hledané $a^{-1}$ splňuje $f_a\left(a^{-1}\right)=1$ a jelikož $f_a$ je na, musí existovat prvek který se zobrazí na $1$ .

Sporem: pokud by $\text{char}\left(T\right)=ab$ pak $0=\underset{\text{char}\left(T\right)}{\underbrace{1+\dots +1}}=\underset{a}{\underbrace{\left(1+\dots +1\right)}}·\underset{b}{\underbrace{\left(1+\dots +1\right)}}\ne 0$

protože $\underset{a}{\underbrace{1+\dots +1}}\ne 0$ a zároveň $\underset{b}{\underbrace{1+\dots +1}}\ne 0$

$1+1=0\Rightarrow -1=1\Rightarrow -a=a\Rightarrow a-b=a+b$

V ${\mathbb{Z}}_p$ nechť

$$\prod _{x=1}^{p-1}x$$

$f_a\left(x\right):\left[p-1\right]\to \left[p-1\right]$ t.ž. $f_a\left(x\right)=ax\text{(mod}p\text{)}$ je bijekce (Viz důkaz o ${\mathbb{Z}}_p$ ) a $·$ je v tělesech komultativní. Takže můžeme zapsat jako

$$\prod _{x=1}^{p-1}{f}_a\left(x\right)$$

Inline

$$\prod _{x=1}^{p-1}ax$$

Vytkneme společný člen $a$ před $\prod$ (je tam $p-1$ krát)

$$a^{p-1}\prod _{x=1}^{p-1}x$$

takže

$$\prod _{x=1}^{p-1}x=a^{p-1}\prod _{x=1}^{p-1}x$$

Škrt $\prod$ !

$$1=a^{p-1}$$

$0*𝐯=0𝐯+\mathrm{𝟎}=0𝐯+\stackrel{𝐯-𝐯=\mathrm{𝟎}}{\overbrace{0𝐯-0𝐯}}=\left(0+0\right)𝐯-0𝐯=0𝐯-0𝐯=\mathrm{𝟎}$ $a*\mathrm{𝟎}=a\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎}=a\mathrm{𝟎}+a\mathrm{𝟎}-a\mathrm{𝟎}=a\left(\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎}\right)-a\mathrm{𝟎}=a\mathrm{𝟎}-a\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$

$\left(-1\right)v+v=\left(-1\right)v+\left(1\right)v=\left(-1+1\right)v=0v=0$
$\therefore \left(-1\right)v=-v$

pokud $a\ne 0$ pak $𝐯=1𝐯=a^{-1}a𝐯=a^{-1}\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$

jinak $a=0$ a splněno.

$a𝐱=𝐯\Rightarrow 𝐱=a^{-1}𝐯$ : $𝐱=1𝐱=\left(a^{-1}a\right)𝐱=a^{-1}a𝐱=a^{-1}𝐯$

$𝐱=a^{-1}𝐯\Rightarrow a𝐱=𝐯$ : $𝐯=1𝐯=\left(a{a}^{-1}\right)𝐯=a{a}^{-1}𝐯=a𝐱$

Axiomy plynou z uzavřenosti: $\mathrm{𝟎}=0𝐯\in U$ a také $-v=\left(-1\right)v\in U$ . Ostatní axiomy platí již na $V$ .

Nechť $W=\bigcap _{i\in I}{U}_i$ . $W$ je uzavřen na $+$ a $*$ .

$\forall 𝐮,𝐯\in W:$ $𝐮,𝐯\in W\Rightarrow \forall i\in I:𝐮,𝐯\in U_i\Rightarrow \forall i\in I:𝐮+𝐯\in U_i\Rightarrow 𝐮+𝐯\in W$

$\forall t\in T,𝐯\in W:$ $𝐯\in W\Rightarrow \forall i\in I:𝐯\in U_i\Rightarrow AAi\in I:t𝐯\in U_i\Rightarrow t𝐯\in W$

I když $I=\varnothing$ tak $W=\bigcap _{i\in I}{U}_i=V$ (protože prázdný průnik je roven celku)

Nechť $$W_1=\bigcap _{M\subseteq U_i\subseteq V}{U}_i$$ $$W_2=\left\{\sum _{i=0}^k{a}_i{𝐯}_i:k\in \mathbb{N},a_i\in T,{𝐯}_i\in M\right\}$$

Chceme dokázat že $W_1=\text{span}\left(M\right)=W_2$

$W_2$ je podprostor protože je uzavřen na skalární násobky:

$$𝐮\in W_2:\sum _{i=0}^k{a}_i{𝐯}_i\Rightarrow t𝐮=t\sum _{i=0}^k{a}_i𝐯=\sum _{i=0}^k\left(t{a}_i\right)𝐯\Rightarrow t𝐮\in W_2$$

I na součty:

$$𝐭+𝐮=\sum _{i=0}^k{a}_i{𝐯}_{t_i}+\sum _{i=0}^k{b}_i{𝐯}_{u_i}$$

$𝐭$ může být vyjádřen oproti jiným vektorům ${𝐯}_i$ než $𝐮$ takže

$$=\sum _{j=0}^{|{𝐯}_t\cup {𝐯}_u|}\left(a_j+b_j\right){\left({𝐯}_t\cup {𝐯}_u\right)}_j\Rightarrow 𝐮+𝐯\in W_2$$

Některá $a_j$ a $b_j$ mohou být nulová pokud původně nebyla vyjádřena oproti tomuto vektoru ${\left({𝐯}_t\cup {𝐯}_u\right)}_j$

Protože $M\subseteq W_2\subseteq V$ (z definice $W_2$ když $a_i=1$ ), $W_2$ je jeden z $U_i$ v $W_1$ . Tudíž $W_1\subseteq W_2$ protože průniky s ostatníma $U_i$ se $W_1$ může jenom zmenšit.

Každý $U_i$ obsahuje $M$ a je uzavřen na sčítání a skalární násobky. Tudíž každý $U_i$ obsahuje všechny lineární kombinace vektorů $M$ . Proto $\forall U_i:W_2\subseteq U_i\Rightarrow W_2\subseteq W_1$

$\therefore W_1=W_2$

• součet dvou řešení homogení soustavy je stále řešení homogení soustavy
• libovolný skalární násobek řešení homogení soustavy je řešení homogení soustavy

Zvolíme vhodné $𝐝\in T^m$ , aby $𝐯=A^T𝐝$ , pak: ${𝐯}^T𝐱={\left(A^T𝐝\right)}^T𝐱={𝐝}^{T}A𝐱={𝐝}^T\mathrm{𝟎}=0$

(mega random lol)

adsfdsajkflhdsajkflhdsajklfhdsajkflhdsjakl