rdck.dev

Lineární Algebra 1


Poznámky z lineární algebry u Fialy v zimním semestru 23/24

Grupy

Definice: Binární operace

Binární operace na množině XX je zobrazení X×XXX \times X \to X

Třeba ++ na \mathbb{R}, ::1 na 0\mathbb{R} \backslash 0.

Definice: Grupa

Grupa je uspořádaná dvojice (G,)\left ( G , \circ \right ) je nějaká grupa na neprázdné množině GG s binární operací \circ pro kterou platí:

Komultativita a,b,cG:(ab)c=a(bc)\forall a , b , c \in G : \left ( a \circ b \right ) \circ c = a \circ \left ( b \circ c \right )
Neutrální prvek eG:aG:ae=ea=a\exists e \in G : \forall a \in G : a \circ e = e \circ a = a
Inverzní prvek aG:bG:ab=ba=e\forall a \in G : \exists b \in G : a \circ b = b \circ a = e

Grupa musí být neprázdná protože v prázdné grupě neexistuje neutrální prvek.

Definice: Abelovská grupa

Grupa pro kterou navíc platí: a,bG:ab=ba\forall a , b \in G : a \circ b = b \circ a

Definice: Aditivní grupy

(G,)\left ( G , \circ \right ) kde \circ je odvozeno od sčítání

může se zavést operace rozdíl jako ab=a+(b)a - b = a + \left ( - b \right ). Tohle není formální definice. Je to spíš vibe.

Definice: Multiplikativní grupy

(G,)\left ( G , \circ \right ) kde \circ je odvozeno od násobení

může se zavést operace podíl jako a:b=ab1a : b = a \cdot b^{- 1}. Tohle není formální definice. Je to spíš vibe.

Vlastnosti grup

Pozorování

neutrální prvek je jednoznačný

Důkaz

Pokud by existovali 2 neutrální prvky ee, ee ', pak e=ee=ee = e \circ e ' = e '

Pozorování

každé aa jednoznačně určuje svůj inverzní prvek a1a^{- 1}

Důkaz

Pokud by bb, bb ' byly oba inverze aa, pak b=be=babab=e=baba=eb=eb=bb = b \circ e = b \circ \underbrace{a \circ b '}_{a \circ b ' = e} = \underbrace{b \circ a}_{b \circ a = e} \circ b ' = e \circ b ' = b '

(b=a1=bb = a^{- 1} = b ' je špatně protože nevíme jestli a1a^{- 1} je jednoznačně určené)

Pozorování

a=bac=bcca=cba = b \Leftrightarrow a \circ c = b \circ c \Leftrightarrow c \circ a = c \circ b

Důkaz

a=bac=bca = b \Rightarrow a \circ c = b \circ c (aa můžu zaměnit za bb protože se rovnají)

ac=bca=ba \circ c = b \circ c \Rightarrow a = b: a=ae=acc1=bcc1=be=ba = a \circ e = a \circ c \circ c^{- 1} = b \circ c \circ c^{- 1} = b \circ e = b

Pozorování

Rovnice ax=ba \circ x = b a xa=bx \circ a = b mají obě jednoznačné řešení v závislosti na aa a bb

Důkaz

x=ex=a1ax=a1bx = e \circ x = a^{- 1} \circ a \circ x = a^{- 1} \circ b

Pozorování

(a1)1=a\left ( a^{- 1} \right )^{- 1} = a

Důkaz

(a1)1e=(a1)1a1a=ea=a\left ( a^{- 1} \right )^{- 1} \circ e = \left ( a^{- 1} \right )^{- 1} \circ a^{- 1} \circ a = e \circ a = a (takové schody dolů)

Pozorování

(ab)1=b1a1\left ( a \circ b \right )^{- 1} = b^{- 1} \circ a^{- 1}

Důkaz

pokud b1a1=(ab)1b^{- 1} \circ a^{- 1} = \left ( a \circ b \right )^{- 1} pak (b1a1)(ab)=e\left ( b^{- 1} \circ a^{- 1} \right ) \circ \left ( a \circ b \right ) = e což platí: (b1a1)(ab)=b1eb=b1b=e\left ( b^{- 1} \circ a^{- 1} \right ) \circ \left ( a \circ b \right ) = b^{- 1} \circ e \circ b = b^{- 1} \circ b = e.

Pozorování

aba1b1a \ne b \Rightarrow a^{- 1} \ne b^{- 1}

Důkaz

aba \ne b

eabee \circ a \ne b \circ e

bb1aba1ab \circ b^{- 1} \circ a \ne b \circ a^{- 1} \circ a

b1(bb1a)a1b1(ba1a)a1b^{- 1} \circ \left ( b \circ b^{- 1} \circ a \right ) \circ a^{- 1} \ne b^{- 1} \circ \left ( b \circ a^{- 1} \circ a \right ) \circ a^{- 1}

eb1eea1ee \circ b^{- 1} \circ e \ne e \circ a^{- 1} \circ e

b1a1b^{- 1} \ne a^{- 1}

Permutace

Syntactic sugar: [n]:={1,2,,n}\left [ n \right ] := \left \lbrace 1 , 2 , \ldots , n \right \rbrace

Definice: Permutace

Permutace na množině [n]\left [ n \right ] je bijektivní zobrazení p:[n][n]p : \left [ n \right ] \to \left [ n \right ]

Zápis pomocí:

Definice: Symetrická grupa

Množina SnS_{n} všech permutací na nn prvcích s operací \circ (skládání permutací) tvoří symetrickou grupu (Sn,)\left ( S_{n} , \circ \right ).

(qp)(i)=q(p(i))\left ( q \circ p \right ) \left ( i \right ) = q \left ( p \left ( i \right ) \right )

Důkaz
Pozorování

qpq \circ p je stále permutace

Důkaz

qpq \circ p je prosté: ijp(i)p(j)q(p(i))q(p(j))i \ne j \Rightarrow p \left ( i \right ) \ne p \left ( j \right ) \Rightarrow q \left ( p \left ( i \right ) \right ) \ne q \left ( p \left ( j \right ) \right )

qpq \circ p je na: (ij:p(j)=i)(jk:q(k)=j)(ik:q(p(k))=i\left ( \forall i \exists j : p \left ( j \right ) = i \right ) \wedge \left ( \forall j \exists k : q \left ( k \right ) = j \right ) \Rightarrow \left ( \forall i \exists k : q \left ( p \left ( k \right ) \right ) = i \right.

Skládání je asociativní: ((rp)q)(i)=r(p(q(i)))=(r(pq))(i)\left ( \left ( r \circ p \right ) \circ q \right ) \left ( i \right ) = r \left ( p \left ( q \left ( i \right ) \right ) \right ) = \left ( r \circ \left ( p \circ q \right ) \right ) \left ( i \right )

Neutrální prvek ee je identita: i:e(i)=i\forall i : e \left ( i \right ) = i

Inverzní prvek: p(i)=jp1(j)=ip \left ( i \right ) = j \Leftrightarrow p^{- 1} \left ( j \right ) = i

Vlastnosti permutací

Definice: Pevný bod

ii kde p(i)=ip \left ( i \right ) = i

Definice: Transpozice

Identita ale má jeden cyklus délky 2

Důkaz

Každou permutaci lze rozložit na transpozice. Búno cyklus (zápis cyklem): (1,2,,k)\left ( 1 , 2 , \ldots , k \right ) == (1,k)(1,2,,k1)\left ( 1 , k \right ) \circ \left ( 1 , 2 , \ldots , k - 1 \right ) == (1,k)(1,k1)(1,2)\left ( 1 , k \right ) \circ \left ( 1 , k - 1 \right ) \circ \ldots \circ \left ( 1 , 2 \right )

Podobný jako slepování ekvivalentních úprav u matic 👀

Definice: Inverze

dvojice prvků (i,j):(i<j)(p(i)>p(j))\left ( i , j \right ) : \left ( i < j \right ) \wedge \left ( p \left ( i \right ) > p \left ( j \right ) \right )

Definice: Znaménko permutace

pp je sgn(p)=(1)#inverzí p\text{sgn} \left ( p \right ) = \left ( - 1 \right )^{\text{#inverzí } p}

Permutace s kladným znaménkem jsou sudé, se záporným liché

Pozorování

Každá transpozice má záporné znaménko.

Důkaz

Identita má znaménko 11. Transpozice přidá 11 cyklus takže 11 inverzi která může křížit jiné šipky ale počet těchto křížení je vždy sudý.

Pozorování

Znaménko složené permutace

Pro libovolné p,qSn:sgn(qp)=sgn(p)sgn(q)p , q \in S_{n} : \text{sgn} \left ( q \circ p \right ) = \text{sgn} \left ( p \right ) \cdot \text{sgn} \left ( q \right )

Důkaz
prvky ii, jj mají inverzi v pp nemají inverzi v pp
mají inverzi v qq +0+ 0 (vyruší se!) +1+ 1
nemají inverzi v qq +1+ 1 +0+ 0

takže

#inverzí (pq)=#inverzí(p)+#inverzí(q)\text{#inverzí } \left ( p \circ q \right ) = \text{#inverzí} \left ( p \right ) + \text{#inverzí} \left ( q \right ) 2|{(i,j):mají inverzi v p i q}|- 2 \left \lvert \left \lbrace \left ( i , j \right ) : \text{mají inverzi v } p \text{ i } q \right \rbrace \right \rvert

kde ta množina je formálně zapsaná jako:

{(i,j):(i<j)(p(i)>p(j))(q(i)>q(j))}\left \lbrace \left ( i , j \right ) : \left ( i < j \right ) \wedge \left ( p \left ( i \right ) > p \left ( j \right ) \right ) \wedge \left ( q \left ( i \right ) > q \left ( j \right ) \right ) \right \rbrace

Pozorování

sgn(p1)=sgn(p)\text{sgn} \left ( p^{- 1} \right ) = \text{sgn} \left ( p \right )

Důkaz

sgn(p)sgn(p1)=sgn(pp1)=sgn(id)=1\text{sgn} \left ( p \right ) \cdot \text{sgn} \left ( p^{- 1} \right ) = \text{sgn} \left ( p \circ p^{- 1} \right ) = \text{sgn} \left ( i d \right ) = 1

Pozorování

sgn(p)=(1)#transpozic libovolného rozhladu p na transpozice\text{sgn} \left ( p \right ) = \left ( - 1 \right )^{\text{#transpozic libovolného rozhladu } p \text{ na transpozice}}

Důkaz

duh

Pozorování

sgn(p)=(1)#sudých cyklů p\text{sgn} \left ( p \right ) = \left ( - 1 \right )^{\text{#sudých cyklů } p}

Důkaz

\prod přes rozklad na transpozice.

Liché cykly se rozloží na sudý počet transpozic které přispějí 11

Sudé cykly se rozloží na lichý počet transpozic které přispějí 1- 1

Tělesa

Definice: Těleso

je množina TT a 2 operace ++ a \cdot, kde (T,+)\left ( T , + \right ) a (T0,)\left ( T \backslash 0 , \cdot \right ) jsou Abelovské grupy2 a navíc a,b,cT:a(b+c)=(ab)+(ac)\forall a , b , c \in T : a \cdot \left ( b + c \right ) = \left ( a \cdot b \right ) + \left ( a \cdot c \right )

rozepsaných 9 axiomů:

Komultativita a,bT:a+b=b+a\forall a , b \in T : a + b = b + a
Neutrální prvek 0T:aT:a+0=a\exists 0 \in T : \forall a \in T : a + 0 = a
Inverzní prvek aT:aT:a+(a)=0\forall a \in T : \exists - a \in T : a + \left ( - a \right ) = 0
Asociativita a,b,cT:(a+b)+c=a+(b+c)\forall a , b , c \in T : \left ( a + b \right ) + c = a + \left ( b + c \right )
Komultativita a,bT:ab=ba\forall a , b \in T : a \cdot b = b \cdot a (Včetně 0!)
Neutrální prvek 1T0:aT0:a1=a\exists 1 \in T \backslash 0 : \forall a \in T \backslash 0 : a \cdot 1 = a (10\to 1 \ne 0!)
Inverzní prvek aT0:a1T0:aa1=1\forall a \in T \backslash 0 : \exists a^{- 1} \in T \backslash 0 : a \cdot a^{- 1} = 1
Asociativita a,b,cT0:(ab)c=a(bc)\forall a , b , c \in T \backslash 0 : \left ( a \cdot b \right ) \cdot c = a \cdot \left ( b \cdot c \right )
Roznásobování a,b,cT:a(b+c)=(ab)+(ac)\forall a , b , c \in T : a \cdot \left ( b + c \right ) = \left ( a \cdot b \right ) + \left ( a \cdot c \right )

Příklady

(,+,)\left ( \mathbb{Q} , + , \cdot \right ), (,+,)\left ( \mathbb{R} , + , \cdot \right ), (,+,)\left ( \mathbb{C} , + , \cdot \right ), p\mathbb{Z}_{p} zbytkové třídy modulo prvočíslo pp jsou tělesa

Pozorování

0a=00 a = 0

Důkaz

Operace z grupy (T0,)\left ( T \backslash 0 , \cdot \right ) nedefinuje chování pro násobení nulou. Můžeme si ale všimnout že:

0a=0a+0=0a+(0a0a)=0a+0a0a0 a = 0 a + 0 = 0 a + \left ( 0 a - 0 a \right ) = 0 a + 0 a - 0 a =(0+0)a0a= \left ( 0 + 0 \right ) a - 0 a =0a0a=0= 0 a - 0 a = 0

Pozorování

(1)a=a\left ( - 1 \right ) a = - a

Důkaz

(1)a=(1)a+0=(1)a+a+(a)\left ( - 1 \right ) a = \left ( - 1 \right ) a + 0 = \left ( - 1 \right ) a + a + \left ( - a \right ) =(1)a+(1)a+(a)= \left ( - 1 \right ) a + \left ( 1 \right ) a + \left ( - a \right ) =(1+1)a+(a)= \left ( - 1 + 1 \right ) a + \left ( - a \right ) =0a+(a)=a= 0 a + \left ( - a \right ) = - a

Pozorování

ab=0a=0b=0a b = 0 \Rightarrow a = 0 \vee b = 0

Důkaz

Sporem: kdyby a0b0ab=0a \ne 0 \wedge b \ne 0 \wedge a b = 0 tak a1,b1\exists a^{- 1} , b^{- 1} 1=aa1bb1=(ab)(a1b1)=0(a1b1)=01 = a a^{- 1} b b^{- 1} = \left ( a b \right ) \left ( a^{- 1} b^{- 1} \right ) = 0 \left ( a^{- 1} b^{- 1} \right ) = 0

Pozorování

p\mathbb{Z}_{p} je těleso právě když pp \in \mathbb{P}

Důkaz

\Rightarrow: Kdyby pp mělo rozklad p=abp = a b, pak ab=0 (mod p)a b = 0 \text{ (mod } p \text{)} kde a0b0a \ne 0 \wedge b \ne 0 což je spor s předchozím pozorováním.

\Leftarrow: Většina plyne z vlastností ++ a \cdot na \mathbb{Z}. Netriviální je existence inverzního prvku pro násobení a1a^{- 1}:

a{1,,p1}:a1{1,,p1}:aa11 (mod p)\forall a \in \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace : \exists a^{- 1} \in \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace : a a^{- 1} \equiv 1 \text{ (mod } p \text{)}

Budiž násobící funkce fa:{1,,p1}{1,,p1}f_{a}{:} \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace \to \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace t.ž. fa(x)ax mod pf_{a}{\left ( x \right )} \equiv a x \text{ mod } p

faf_{a} zobrazuje konečnou množinu samu na sebe
faf_{a} je prostá \Leftrightarrow faf_{a} je na.

Pro spor faf_{a} není prostá, pak b,c\exists b , c búno b<cb < c t.ž. fa(b)=fa(c)0=fa(b)fa(c)abac=a(bc) (mod p)f_{a}{\left ( b \right )} = f_{a}{\left ( c \right )} \Rightarrow 0 = f_{a}{\left ( b \right )} - f_{a}{\left ( c \right )} \equiv a b - a c = a \left ( b - c \right ) \text{ (mod } p \text{)}

0=a(bc) (mod p)0 = a \left ( b - c \right ) \text{ (mod } p \text{)} ale a,b,c{1,,p1}a , b , c \in \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace takže bc=0b - c = 0 takže b=cb = c

Hledané a1a^{- 1} splňuje fa(a1)=1f_{a}{\left ( a^{- 1} \right )} = 1 a jelikož faf_{a} je na, musí existovat prvek který se zobrazí na 11.

Charakteristika tělesa

Definice: Charakteristika tělesa

V tělese TT pokud n:1+1+1++1n=0\exists n \in \mathbb{N} : \underbrace{1 + 1 + 1 + \ldots + 1}_{n} = 0 pak nn je charakteristika tělesa. Jinak je 00. Značí se char(T)\text{char} \left ( T \right )

Pozorování

char(T)0prvočísla\text{char} \left ( T \right ) \in 0 \cup \text{prvočísla}

Důkaz

Sporem: pokud by char(T)=ab\text{char} \left ( T \right ) = a b pak 0=1++1char(T)=(1++1)a(1++1)b00 = \underbrace{1 + \ldots + 1}_{\text{char} \left ( T \right )} = \underbrace{\left ( 1 + \ldots + 1 \right )}_{a} \cdot \underbrace{\left ( 1 + \ldots + 1 \right )}_{b} \ne 0

protože 1++1a0\underbrace{1 + \ldots + 1}_{a} \ne 0 a zároveň 1++1b0\underbrace{1 + \ldots + 1}_{b} \ne 0

Pozorování

Pro tělesa T:char(T)=0:aT:a=a1T : \text{char} \left ( T \right ) = 0 : \forall a \in T : a = a^{- 1}

Důkaz

1+1=01=1a=aab=a+b1 + 1 = 0 \Rightarrow - 1 = 1 \Rightarrow - a = a \Rightarrow a - b = a + b

Malá Fermatova věta

Definice: Malá Fermatova věta

Pro pp \in \mathbb{P} a každé a[p1]:ap11 (mod p)a \in \left [ p - 1 \right ] : a^{p - 1} \equiv 1 \text{ (mod } p \text{)}

Důkaz

V p\mathbb{Z}_{p} nechť

x=1p1x\prod_{x = 1}^{p - 1} x

fa(x):[p1][p1]f_{a}{\left ( x \right )} : \left [ p - 1 \right ] \to \left [ p - 1 \right ] t.ž. fa(x)=ax (mod p)f_{a}{\left ( x \right )} = a x \text{ (mod } p \text{)} je bijekce (Viz důkaz o p\mathbb{Z}_{p}) a \cdot je v tělesech komultativní. Takže můžeme zapsat jako

x=1p1fa(x)\prod_{x = 1}^{p - 1} f_{a}{\left ( x \right )}

Inline

x=1p1ax\prod_{x = 1}^{p - 1} a x

Vytkneme společný člen aa před \prod (je tam p1p - 1 krát)

ap1x=1p1xa^{p - 1} \prod_{x = 1}^{p - 1} x

takže

x=1p1x=ap1x=1p1x\prod_{x = 1}^{p - 1} x = a^{p - 1} \prod_{x = 1}^{p - 1} x

Škrt \prod!

1=ap11 = a^{p - 1}

Důsledek

V p\mathbb{Z}_{p} s prvočíslem pp platí a:ap=a\forall a : a^{p} = a

Vektorové prostory

Definice: Vektorový prostor

Vektorový prostor (V,+,)\left ( V , + , \cdot \right ) nad tělesem (T,+,)\left ( T , + , \cdot \right ) je množina VV spolu s binární operací ++ a binární operací skalárního násobku :T×VV\cdot : T \times V \to V, kde platí:

🎉 (V,+)\left ( V , + \right ) je Abelovská grupa
Komultativita binární operace a,bT,𝐯V:(ab)𝐯=a(b𝐯)\forall a , b \in T , \mathbf{v} \in V : \left ( a \cdot b \right ) \cdot \mathbf{v} = a \cdot \left ( b \cdot \mathbf{v} \right )
Neutralita binární operace 𝐯V:1𝐯=𝐯\forall \mathbf{v} \in V : 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}
Roznásobování závorky vektorem a,bT,𝐯V:(a+b)𝐯=(a𝐯)+(b𝐯)\forall a , b \in T , \forall \mathbf{v} \in V : \left ( a + b \right ) \cdot \mathbf{v} = \left ( a \cdot \mathbf{v} \right ) + \left ( b \cdot \mathbf{v} \right )
Roznásobování závorky skalárem aT,𝐮,𝐯V:a(𝐮+𝐯)=(a𝐮)+(a𝐯)\forall a \in T , \forall \mathbf{u} , \mathbf{v} \in V : a \cdot \left ( \mathbf{u} + \mathbf{v} \right ) = \left ( a \cdot \mathbf{u} \right ) + \left ( a \cdot \mathbf{v} \right )

Prvky TT se nazývají skaláry. Prvky VV se nazývají vektory a jsou tučně (𝐯\mathbf{v}).

Rozepsané axiomy:

  1. Asociativita v grupách (T,+)\left ( T , + \right ), (T,)\left ( T , \cdot \right ), (V,+)\left ( V , + \right )
  2. Komultativita v grupách (T,+)\left ( T , + \right ), (T,)\left ( T , \cdot \right ), (V,+)\left ( V , + \right )
  3. Neutralní prvek v grupách (T,+)\left ( T , + \right ), (T,)\left ( T , \cdot \right ), (V,+)\left ( V , + \right )
  4. Inverzní prvek v grupách (T,+)\left ( T , + \right ), (T,)\left ( T , \cdot \right ), (V,+)\left ( V , + \right )
  5. Roznásobování závorek tělesa (T,+,)\left ( T , + , \cdot \right )
  6. Komultativní prvek v :T×VV\cdot : T \times V \to V
  7. Neutrální prvek v :T×VV\cdot : T \times V \to V
  8. Roznásobování závorky skalárů vektorem
  9. Roznásobování závorky vektorů skalárem
Pozorování

0𝐯=a𝟎=𝟎0 \cdot \mathbf{v} = a \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}

Důkaz

0𝐯=0𝐯+𝟎=0𝐯+0𝐯0𝐯𝐯𝐯=𝟎=(0+0)𝐯0𝐯=0𝐯0𝐯=𝟎0 \cdot \mathbf{v} = 0 \mathbf{v} + \mathbf{0} = 0 \mathbf{v} + \overbrace{0 \mathbf{v} - 0 \mathbf{v}}^{\mathbf{v} - \mathbf{v} = \mathbf{0}} = \left ( 0 + 0 \right ) \mathbf{v} - 0 \mathbf{v} = 0 \mathbf{v} - 0 \mathbf{v} = \mathbf{0} a𝟎=a𝟎+𝟎=a𝟎+a𝟎a𝟎=a(𝟎+𝟎)a𝟎=a𝟎a𝟎=𝟎a \cdot \mathbf{0} = a \mathbf{0} + \mathbf{0} = a \mathbf{0} + a \mathbf{0} - a \mathbf{0} = a \left ( \mathbf{0} + \mathbf{0} \right ) - a \mathbf{0} = a \mathbf{0} - a \mathbf{0} = \mathbf{0}

Pozorování

vV:(1)v=v\forall v \in V : \left ( - 1 \right ) v = - v

Důkaz

(1)v+v=(1)v+(1)v=(1+1)v=0v=0\left ( - 1 \right ) v + v = \left ( - 1 \right ) v + \left ( 1 \right ) v = \left ( - 1 + 1 \right ) v = 0 v = 0
(1)v=v\therefore \left ( - 1 \right ) v = - v

Pozorování

a𝐯=𝟎a=0𝐯=𝟎a \mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow a = 0 \vee \mathbf{\mathbf{v}} = \mathbf{0}

Důkaz

pokud a0a \ne 0 pak 𝐯=1𝐯=a1a𝐯=a1𝟎=𝟎\mathbf{v} = 1 \mathbf{v} = a^{- 1} a \mathbf{v} = a^{- 1} \mathbf{0} = \mathbf{0}

jinak a=0a = 0 a splněno.

Pozorování

a𝐱=𝐯𝐱=a1𝐯a \mathbf{x} = \mathbf{v} \Leftrightarrow \mathbf{x} = a^{- 1} \mathbf{v}

(domácí, není v prezentaci)

Důkaz

a𝐱=𝐯𝐱=a1𝐯a \mathbf{x} = \mathbf{v} \Rightarrow \mathbf{x} = a^{- 1} \mathbf{v}: 𝐱=1𝐱=(a1a)𝐱=a1a𝐱=a1𝐯\mathbf{x} = 1 \mathbf{x} = \left ( a^{- 1} a \right ) \mathbf{x} = a^{- 1} a \mathbf{x} = a^{- 1} \mathbf{v}

𝐱=a1𝐯a𝐱=𝐯\mathbf{x} = a^{- 1} \mathbf{v} \Rightarrow a \mathbf{x} = \mathbf{v}: 𝐯=1𝐯=(aa1)𝐯=aa1𝐯=a𝐱\mathbf{v} = 1 \mathbf{v} = \left ( a a^{- 1} \right ) \mathbf{v} = a a^{- 1} \mathbf{v} = a \mathbf{x}

Definice: Podprostor

Budiž vektorový prostor VV nad tělesem TT, pak podprostor UU je neprázdná podmnožina VV splňující:

  • 𝐮,𝐯U:𝐮+𝐯U\forall \mathbf{u} , \mathbf{v} \in U : \mathbf{u} + \mathbf{v} \in U
  • 𝐯U,tT:t𝐯U\forall \mathbf{v} \in U , \forall t \in T : t \mathbf{v} \in U

Příklady:

Pozorování

Jakýkoliv podprostor je také vektorový prostor.

Důkaz

Axiomy plynou z uzavřenosti: 𝟎=0𝐯U\mathbf{0} = 0 \mathbf{v} \in U a také v=(1)vU- v = \left ( - 1 \right ) v \in U. Ostatní axiomy platí již na VV.

Průnik podprostorů

Pozorování

Nechť (Ui,iI)\left ( U_{i} , i \in I \right ) je libovolný systém podprostorů prostoru VV. Průnik tohoto systému iIUi\bigcap_{i \in I} U_{i} je také podprostor VV.

Důkaz

Nechť W=iIUiW = \bigcap_{i \in I} U_{i}. WW je uzavřen na ++ a \cdot.

𝐮,𝐯W:\forall \mathbf{u} , \mathbf{v} \in W : 𝐮,𝐯WiI:𝐮,𝐯UiiI:𝐮+𝐯Ui𝐮+𝐯W\mathbf{u} , \mathbf{v} \in W \Rightarrow \forall i \in I : \mathbf{u} , \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow \forall i \in I : \mathbf{u} + \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W

tT,𝐯W:\forall t \in T , \mathbf{v} \in W : 𝐯WiI:𝐯UiiI:t𝐯Uit𝐯W\mathbf{v} \in W \Rightarrow \forall i \in I : \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow \forall i \in I : t \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow t \mathbf{v} \in W

I když I=I = \emptyset tak W=iIUi=VW = \bigcap_{i \in I} U_{i} = V (protože prázdný průnik je roven celku)

Podprostor generovaný množinou

Definice: Generovaný podprostor

Podprostor prostoru VV generovaný množinou MM je průnik všech podprostorů UU z VV, které obsahují MM. Značí se span(M)\text{span(} M \text{)}.

Formálně span(M)={U:MU,U je podprostor V}\text{span(} M \text{)} = \bigcap \left \lbrace U : M \subseteq U , U \text{ je podprostor } V \right \rbrace

(Nazývá se též lineární obal MM a může se značit (M)\mathcal{L} \left ( M \right ))

Ukázky:

Pro V=3V = \mathbb{R}^{3}, span({(2,2,2)T})={(a,a,a)T,a}\text{span} \left ( \left \lbrace \left ( 2 , 2 , 2 \right )^{T} \right \rbrace \right ) = \left \lbrace \left ( a , a , a \right )^{T} , a \in \mathbb{R} \right \rbrace

(2,2,2)T\left ( 2 , 2 , 2 \right )^{T} je obsažen v podprostoru přímky protínající počátek a tento bod a v množině rovin které protínají počátek a tento bod. Průnik přes všechny tyto podprostory pak tvoří tu přímku.

span({(1,0,0)T,(0,1,0)T})={(a,b,0)Tab}\text{span} \left ( \left \lbrace \left ( 1 , 0 , 0 \right )^{T} , \left ( 0 , 1 , 0 \right )^{T} \right \rbrace \right ) = \left \lbrace \left ( a , b , 0 \right )^{T} \mid a b \in \mathbb{R} \right \rbrace

Žádný přímka-podprostor neprotíná tyhle 2 body a zároveň počátek

Definice: Lineární kombinace

Lineární kombinace vektorů 𝐯1,𝐯2,,𝐯nV\mathbf{v}_{1} , \mathbf{v}_{2} , \ldots , \mathbf{v}_{n} \in V nad TT je {a1𝐯1,a2𝐯2,,an𝐯n|a1,a2,,anT}\left \lbrace a_{1} \mathbf{v}_{1} , a_{2} \mathbf{v}_{2} , \ldots , a_{n} \mathbf{v}_{n} \left \lvert a_{1} , a_{2} , \ldots , a_{n} \in T \right \rbrace \right.

Pozorování

Budiž vektorový prostor VV nad tělesem TT a MM podmnožina VV. Pak span(M)\text{span} \left ( M \right ) je množina všech lineárních kombinací vektorů z MM.

Důkaz

Nechť W1=MUiVUiW_{1} = \bigcap_{M \subseteq U_{i} \subseteq V} U_{i} W2={i=0kai𝐯i:k,aiT,𝐯iM}W_{2} = \left \lbrace \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v}_{i} : k \in \mathbb{N} , a_{i} \in T , \mathbf{v}_{i} \in M \right \rbrace

Chceme dokázat že W1=span(M)=W2W_{1} = \text{span} \left ( M \right ) = W_{2}

W2W_{2} je podprostor protože je uzavřen na skalární násobky:

𝐮W2:i=0kai𝐯it𝐮=ti=0kai𝐯=i=0k(tai)𝐯t𝐮W2\mathbf{u} \in W_{2} : \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v}_{i} \Rightarrow t \mathbf{u} = t \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v} = \sum_{i = 0}^{k} \left ( t a_{i} \right ) \mathbf{v} \Rightarrow t \mathbf{u} \in W_{2}

I na součty:

𝐭+𝐮=i=0kai𝐯ti+i=0kbi𝐯ui\mathbf{t} + \mathbf{u} = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v}_{t_{i}} + \sum_{i = 0}^{k} b_{i} \mathbf{v}_{u_{i}}

𝐭\mathbf{t} může být vyjádřen oproti jiným vektorům 𝐯i\mathbf{v}_{i} než 𝐮\mathbf{u} takže

=j=0|𝐯t𝐯u|(aj+bj)(𝐯t𝐯u)j𝐮+𝐯W2= \sum_{j = 0}^{\left \lvert \mathbf{v}_{t} \cup \mathbf{v}_{u} \right \rvert} \left ( a_{j} + b_{j} \right ) \left ( \mathbf{v}_{t} \cup \mathbf{v}_{u} \right )_{j} \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_{2}

Některá aja_{j} a bjb_{j} mohou být nulová pokud původně nebyla vyjádřena oproti tomuto vektoru (𝐯t𝐯u)j\left ( \mathbf{v}_{t} \cup \mathbf{v}_{u} \right )_{j}

Protože MW2VM \subseteq W_{2} \subseteq V (z definice W2W_{2} když ai=1a_{i} = 1), W2W_{2} je jeden z UiU_{i} v W1W_{1}. Tudíž W1W2W_{1} \subseteq W_{2} protože průniky s ostatníma UiU_{i} se W1W_{1} může jenom zmenšit.

Každý UiU_{i} obsahuje MM a je uzavřen na sčítání a skalární násobky. Tudíž každý UiU_{i} obsahuje všechny lineární kombinace vektorů MM. Proto Ui:W2UiW2W1\forall U_{i} : W_{2} \subseteq U_{i} \Rightarrow W_{2} \subseteq W_{1}

W1=W2\therefore W_{1} = W_{2}

Prostory určené maticí ATm×nA \in T^{m \times n}

Definice: Jádro

Jádro matice AA je množina řešení Ax=0A x = 0. Značí se ker(A)\text{ker} \left ( A \right )

ker(A)={x:Ax=0}\text{ker} \left ( A \right ) = \left \lbrace x : A x = 0 \right \rbrace

Definice: Sloupcový prostor

Podprostor TmT^{m} generovaný sloupci AA

{𝐮Tm:𝐮=A𝐜,𝐜Tn}\left \lbrace \mathbf{u} \in T^{m} : \mathbf{u} = A \mathbf{c} , \mathbf{c} \in T^{n} \right \rbrace

(𝐜\mathbf{c} jsou všechny možné koeficienty lineárních kombinací)

Definice: Řádkový prostor

Podprostor TnT^{n} generovaný řádky AA

{𝐯Tn:𝐯=A1𝐝,𝐝Tm}\left \lbrace \mathbf{v} \in T^{n} : \mathbf{v} = A^{- 1} \mathbf{d} , \mathbf{d} \in T^{m} \right \rbrace

(𝐝\mathbf{d} jsou všechny možné koeficienty lineárních kombinací)

Pozorování

Jádro ker(A)\text{ker} \left ( A \right ) je podprostor TnT^{n}

Důkaz
  • součet dvou řešení homogení soustavy je stále řešení homogení soustavy
  • libovolný skalární násobek řešení homogení soustavy je řešení homogení soustavy
Pozorování

Elementární úpravy nemění jádro ani řádkový prostor

Pozorování

Každé 𝐯\mathbf{v} z řádkového prostoru a 𝐱\mathbf{x} z járda splňují 𝐯T𝐱=0\mathbf{v}^{T} \mathbf{x} = 0

Důkaz

Zvolíme vhodné 𝐝Tm\mathbf{d} \in T^{m}, aby 𝐯=AT𝐝\mathbf{v} = A^{T} \mathbf{d}, pak: 𝐯T𝐱=(AT𝐝)T𝐱=𝐝TA𝐱=𝐝T𝟎=0\mathbf{v}^{T} \mathbf{x} = \left ( A^{T} \mathbf{d} \right )^{T} \mathbf{x} = \mathbf{d}^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{d}^{T} \mathbf{0} = 0

(mega random lol)

Lineární nezávislost

Definice: Lineární nezávislost

Množina vektorů BB je lineárně nezávislá pokud pro každou nn-tici vektorů 𝐯1,𝐯2,,𝐯nB\mathbf{v}_{1} , \mathbf{v}_{2} , \ldots , \mathbf{v}_{n} \in B platí že i=1nai𝐯1=𝟎\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \mathbf{v}_{1} = \mathbf{0} má pouze triviální řešení a1=a2==an=0a_{1} = a_{2} = \ldots = a_{n} = 0

Jinak je množina BB lineárně závislá.

Pozorování

Pokud jsou 𝐯1,𝐯2,,𝐯n\mathbf{v}_{1} , \mathbf{v}_{2} , \ldots , \mathbf{v}_{n} lineárně závislé pak i=1nai𝐯1=𝟎\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \mathbf{v}_{1} = \mathbf{0} kde nějaké ai0a_{i} \ne 0. Lze tedy vyjádřit odpovídající 𝐯i\mathbf{v}_{i} jako 𝐯i=jiajai𝐯j\mathbf{v}_{i} = \sum_{j \ne i} - \frac{a_{j}}{a_{i}} \mathbf{v}_{j}

Příklady

Pozorování

Upper bound na nezávislou množinu je velikost množiny která generuje celý vektorový prostor

Důkaz

adsfdsajkflhdsajkflhdsajklfhdsajkflhdsjakl

Steinitzova věta o výměně

Nechť ve vektorovém prostoru VV: BB je lineárně nezávislá, CC je generátor. Já můžu zobat z CC prvky do BB dokud se z BB nestane taky generátor.

Aplikace

Počet sudých podgrafů

lol

Množinové systémy s omezením velikostí

Množinový systém je docela random věc o které nic neřekl.

Chceme najít kk podmnožin které mají všechny lichou velikost ale zároveň průnik jakékoliv dvojice má sudou velikost.

Dělení obdélníků

wow


  1. dělení↩︎

  2. (T0,)\left ( T \backslash 0 , \cdot \right ) je Abelovská grupa s benefity. Definuje komultativitu včetně 00, která v této grupě normálně vůbec neexistuje.↩︎