Lineární Algebra 1

Pokud by existovali 2 neutrální prvky $e$, $e '$, pak $e = e \circ e ' = e '$

Pokud by $b$, $b '$ byly oba inverze $a$, pak $b = b \circ e = b \circ \underbrace{a \circ b '}_{a \circ b ' = e} = \underbrace{b \circ a}_{b \circ a = e} \circ b ' = e \circ b ' = b '$

($b = a^{- 1} = b '$ je špatně protože nevíme jestli $a^{- 1}$ je jednoznačně určené)

$a = b \Rightarrow a \circ c = b \circ c$ ($a$ můžu zaměnit za $b$ protože se rovnají)

$a \circ c = b \circ c \Rightarrow a = b$: $a = a \circ e = a \circ c \circ c^{- 1} = b \circ c \circ c^{- 1} = b \circ e = b$

$x = e \circ x = a^{- 1} \circ a \circ x = a^{- 1} \circ b$

$\left ( a^{- 1} \right )^{- 1} \circ e = \left ( a^{- 1} \right )^{- 1} \circ a^{- 1} \circ a = e \circ a = a$ (takové schody dolů)

pokud $b^{- 1} \circ a^{- 1} = \left ( a \circ b \right )^{- 1}$ pak $\left ( b^{- 1} \circ a^{- 1} \right ) \circ \left ( a \circ b \right ) = e$ což platí: $\left ( b^{- 1} \circ a^{- 1} \right ) \circ \left ( a \circ b \right ) = b^{- 1} \circ e \circ b = b^{- 1} \circ b = e$.

$$a \ne b$$

$$e \circ a \ne b \circ e$$

$$b \circ b^{- 1} \circ a \ne b \circ a^{- 1} \circ a$$

$$b^{- 1} \circ \left ( b \circ b^{- 1} \circ a \right ) \circ a^{- 1} \ne b^{- 1} \circ \left ( b \circ a^{- 1} \circ a \right ) \circ a^{- 1}$$

$$e \circ b^{- 1} \circ e \ne e \circ a^{- 1} \circ e$$

$$b^{- 1} \ne a^{- 1}$$

Skládání je asociativní: $\left ( \left ( r \circ p \right ) \circ q \right ) \left ( i \right ) = r \left ( p \left ( q \left ( i \right ) \right ) \right ) = \left ( r \circ \left ( p \circ q \right ) \right ) \left ( i \right )$

Neutrální prvek $e$ je identita: $\forall i : e \left ( i \right ) = i$

Inverzní prvek: $p \left ( i \right ) = j \Leftrightarrow p^{- 1} \left ( j \right ) = i$

Každou permutaci lze rozložit na transpozice. Búno cyklus (zápis cyklem): $\left ( 1 , 2 , \ldots , k \right )$ $=$ $\left ( 1 , k \right ) \circ \left ( 1 , 2 , \ldots , k - 1 \right )$ $=$ $\left ( 1 , k \right ) \circ \left ( 1 , k - 1 \right ) \circ \ldots \circ \left ( 1 , 2 \right )$

Podobný jako slepování ekvivalentních úprav u matic 👀

Identita má znaménko $1$. Transpozice přidá $1$ cyklus takže $1$ inverzi která může křížit jiné šipky ale počet těchto křížení je vždy sudý.

takže

$\text{#inverzí } \left ( p \circ q \right ) = \text{#inverzí} \left ( p \right ) + \text{#inverzí} \left ( q \right )$ $- 2 \left \lvert \left \lbrace \left ( i , j \right ) : \text{mají inverzi v } p \text{ i } q \right \rbrace \right \rvert$

kde ta množina je formálně zapsaná jako:

$\left \lbrace \left ( i , j \right ) : \left ( i < j \right ) \wedge \left ( p \left ( i \right ) > p \left ( j \right ) \right ) \wedge \left ( q \left ( i \right ) > q \left ( j \right ) \right ) \right \rbrace$

$\text{sgn} \left ( p \right ) \cdot \text{sgn} \left ( p^{- 1} \right ) = \text{sgn} \left ( p \circ p^{- 1} \right ) = \text{sgn} \left ( i d \right ) = 1$

duh

$\prod$ přes rozklad na transpozice.

Liché cykly se rozloží na sudý počet transpozic které přispějí $1$

Sudé cykly se rozloží na lichý počet transpozic které přispějí $- 1$

Operace z grupy $\left ( T \backslash 0 , \cdot \right )$ nedefinuje chování pro násobení nulou. Můžeme si ale všimnout že:

$0 a = 0 a + 0 = 0 a + \left ( 0 a - 0 a \right ) = 0 a + 0 a - 0 a$ $= \left ( 0 + 0 \right ) a - 0 a$ $= 0 a - 0 a = 0$

$\left ( - 1 \right ) a = \left ( - 1 \right ) a + 0 = \left ( - 1 \right ) a + a + \left ( - a \right )$ $= \left ( - 1 \right ) a + \left ( 1 \right ) a + \left ( - a \right )$ $= \left ( - 1 + 1 \right ) a + \left ( - a \right )$ $= 0 a + \left ( - a \right ) = - a$

Sporem: kdyby $a \ne 0 \wedge b \ne 0 \wedge a b = 0$ tak $\exists a^{- 1} , b^{- 1}$ $1 = a a^{- 1} b b^{- 1} = \left ( a b \right ) \left ( a^{- 1} b^{- 1} \right ) = 0 \left ( a^{- 1} b^{- 1} \right ) = 0$ ↯

$\Rightarrow$: Kdyby $p$ mělo rozklad $p = a b$, pak $a b = 0 \text{ (mod } p \text{)}$ kde $a \ne 0 \wedge b \ne 0$ což je spor s předchozím pozorováním.

$\Leftarrow$: Většina plyne z vlastností $+$ a $\cdot$ na $\mathbb{Z}$. Netriviální je existence inverzního prvku pro násobení $a^{- 1}$:

$\forall a \in \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace : \exists a^{- 1} \in \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace : a a^{- 1} \equiv 1 \text{ (mod } p \text{)}$

Budiž násobící funkce $f_{a}{:} \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace \to \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace$ t.ž. $f_{a}{\left ( x \right )} \equiv a x \text{ mod } p$

$f_{a}$ zobrazuje konečnou množinu samu na sebe
∴ $f_{a}$ je prostá $\Leftrightarrow$ $f_{a}$ je na.

Pro spor $f_{a}$ není prostá, pak $\exists b , c$ búno $b < c$ t.ž. $f_{a}{\left ( b \right )} = f_{a}{\left ( c \right )} \Rightarrow 0 = f_{a}{\left ( b \right )} - f_{a}{\left ( c \right )} \equiv a b - a c = a \left ( b - c \right ) \text{ (mod } p \text{)}$

$0 = a \left ( b - c \right ) \text{ (mod } p \text{)}$ ale $a , b , c \in \left \lbrace 1 , \ldots , p - 1 \right \rbrace$ takže $b - c = 0$ takže $b = c$ ↯

Hledané $a^{- 1}$ splňuje $f_{a}{\left ( a^{- 1} \right )} = 1$ a jelikož $f_{a}$ je na, musí existovat prvek který se zobrazí na $1$.

Sporem: pokud by $\text{char} \left ( T \right ) = a b$ pak $0 = \underbrace{1 + \ldots + 1}_{\text{char} \left ( T \right )} = \underbrace{\left ( 1 + \ldots + 1 \right )}_{a} \cdot \underbrace{\left ( 1 + \ldots + 1 \right )}_{b} \ne 0$

protože $\underbrace{1 + \ldots + 1}_{a} \ne 0$ a zároveň $\underbrace{1 + \ldots + 1}_{b} \ne 0$

$1 + 1 = 0 \Rightarrow - 1 = 1 \Rightarrow - a = a \Rightarrow a - b = a + b$

V $\mathbb{Z}_{p}$ nechť

$$\prod_{x = 1}^{p - 1} x$$

$f_{a}{\left ( x \right )} : \left [ p - 1 \right ] \to \left [ p - 1 \right ]$ t.ž. $f_{a}{\left ( x \right )} = a x \text{ (mod } p \text{)}$ je bijekce (Viz důkaz o $\mathbb{Z}_{p}$) a $\cdot$ je v tělesech komultativní. Takže můžeme zapsat jako

$$\prod_{x = 1}^{p - 1} f_{a}{\left ( x \right )}$$

Inline

$$\prod_{x = 1}^{p - 1} a x$$

Vytkneme společný člen $a$ před $\prod$ (je tam $p - 1$ krát)

$$a^{p - 1} \prod_{x = 1}^{p - 1} x$$

takže

$$\prod_{x = 1}^{p - 1} x = a^{p - 1} \prod_{x = 1}^{p - 1} x$$

Škrt $\prod$!

$$1 = a^{p - 1}$$

$0 \cdot \mathbf{v} = 0 \mathbf{v} + \mathbf{0} = 0 \mathbf{v} + \overbrace{0 \mathbf{v} - 0 \mathbf{v}}^{\mathbf{v} - \mathbf{v} = \mathbf{0}} = \left ( 0 + 0 \right ) \mathbf{v} - 0 \mathbf{v} = 0 \mathbf{v} - 0 \mathbf{v} = \mathbf{0}$ $a \cdot \mathbf{0} = a \mathbf{0} + \mathbf{0} = a \mathbf{0} + a \mathbf{0} - a \mathbf{0} = a \left ( \mathbf{0} + \mathbf{0} \right ) - a \mathbf{0} = a \mathbf{0} - a \mathbf{0} = \mathbf{0}$

$\left ( - 1 \right ) v + v = \left ( - 1 \right ) v + \left ( 1 \right ) v = \left ( - 1 + 1 \right ) v = 0 v = 0$
$\therefore \left ( - 1 \right ) v = - v$

pokud $a \ne 0$ pak $\mathbf{v} = 1 \mathbf{v} = a^{- 1} a \mathbf{v} = a^{- 1} \mathbf{0} = \mathbf{0}$

jinak $a = 0$ a splněno.

$a \mathbf{x} = \mathbf{v} \Rightarrow \mathbf{x} = a^{- 1} \mathbf{v}$: $\mathbf{x} = 1 \mathbf{x} = \left ( a^{- 1} a \right ) \mathbf{x} = a^{- 1} a \mathbf{x} = a^{- 1} \mathbf{v}$

$\mathbf{x} = a^{- 1} \mathbf{v} \Rightarrow a \mathbf{x} = \mathbf{v}$: $\mathbf{v} = 1 \mathbf{v} = \left ( a a^{- 1} \right ) \mathbf{v} = a a^{- 1} \mathbf{v} = a \mathbf{x}$

Axiomy plynou z uzavřenosti: $\mathbf{0} = 0 \mathbf{v} \in U$ a také $- v = \left ( - 1 \right ) v \in U$. Ostatní axiomy platí již na $V$.

Nechť $W = \bigcap_{i \in I} U_{i}$. $W$ je uzavřen na $+$ a $\cdot$.

$\forall \mathbf{u} , \mathbf{v} \in W :$ $\mathbf{u} , \mathbf{v} \in W \Rightarrow \forall i \in I : \mathbf{u} , \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow \forall i \in I : \mathbf{u} + \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$

$\forall t \in T , \mathbf{v} \in W :$ $\mathbf{v} \in W \Rightarrow \forall i \in I : \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow \forall i \in I : t \mathbf{v} \in U_{i} \Rightarrow t \mathbf{v} \in W$

I když $I = \emptyset$ tak $W = \bigcap_{i \in I} U_{i} = V$ (protože prázdný průnik je roven celku)

Nechť $$W_{1} = \bigcap_{M \subseteq U_{i} \subseteq V} U_{i}$$ $$W_{2} = \left \lbrace \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v}_{i} : k \in \mathbb{N} , a_{i} \in T , \mathbf{v}_{i} \in M \right \rbrace$$

Chceme dokázat že $W_{1} = \text{span} \left ( M \right ) = W_{2}$

$W_{2}$ je podprostor protože je uzavřen na skalární násobky:

$$\mathbf{u} \in W_{2} : \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v}_{i} \Rightarrow t \mathbf{u} = t \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v} = \sum_{i = 0}^{k} \left ( t a_{i} \right ) \mathbf{v} \Rightarrow t \mathbf{u} \in W_{2}$$

I na součty:

$$\mathbf{t} + \mathbf{u} = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \mathbf{v}_{t_{i}} + \sum_{i = 0}^{k} b_{i} \mathbf{v}_{u_{i}}$$

$\mathbf{t}$ může být vyjádřen oproti jiným vektorům $\mathbf{v}_{i}$ než $\mathbf{u}$ takže

$$= \sum_{j = 0}^{\left \lvert \mathbf{v}_{t} \cup \mathbf{v}_{u} \right \rvert} \left ( a_{j} + b_{j} \right ) \left ( \mathbf{v}_{t} \cup \mathbf{v}_{u} \right )_{j} \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_{2}$$

Některá $a_{j}$ a $b_{j}$ mohou být nulová pokud původně nebyla vyjádřena oproti tomuto vektoru $\left ( \mathbf{v}_{t} \cup \mathbf{v}_{u} \right )_{j}$

Protože $M \subseteq W_{2} \subseteq V$ (z definice $W_{2}$ když $a_{i} = 1$), $W_{2}$ je jeden z $U_{i}$ v $W_{1}$. Tudíž $W_{1} \subseteq W_{2}$ protože průniky s ostatníma $U_{i}$ se $W_{1}$ může jenom zmenšit.

Každý $U_{i}$ obsahuje $M$ a je uzavřen na sčítání a skalární násobky. Tudíž každý $U_{i}$ obsahuje všechny lineární kombinace vektorů $M$. Proto $\forall U_{i} : W_{2} \subseteq U_{i} \Rightarrow W_{2} \subseteq W_{1}$

$\therefore W_{1} = W_{2}$

• součet dvou řešení homogení soustavy je stále řešení homogení soustavy
• libovolný skalární násobek řešení homogení soustavy je řešení homogení soustavy

Zvolíme vhodné $\mathbf{d} \in T^{m}$, aby $\mathbf{v} = A^{T} \mathbf{d}$, pak: $\mathbf{v}^{T} \mathbf{x} = \left ( A^{T} \mathbf{d} \right )^{T} \mathbf{x} = \mathbf{d}^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{d}^{T} \mathbf{0} = 0$

(mega random lol)

adsfdsajkflhdsajkflhdsajklfhdsajkflhdsjakl